摘 要：在倒立擺系統的數學模型基礎上，對系統進行了性能分析。采用LQR對一級倒立擺進行了最優控制器的設計，并將其應用于倒立擺實際控制中，實時控制效果良好。 關鍵詞：LQR，倒立擺，實時控制 [b][align=center]An Linear Inverted Pendulum Control Based on LQR Xie Lirong，Wang Zhiyong，Wang Li[/align][/b] Abstract：In this paper ,on the base of the model of the single inverted pendulum, analysy the capability of the system. An LQR - based on optimal control system is designed used to the actual control of an inverted pendulum and acquire a good effect. Keywords：LQR，Inverted Pendulum，Real Control 0 引言 　　倒立擺系統是非線性、強藕合、多變量和自然不穩定的系統。線性二次型最優控制（Linear Quadratic Regulator—LQR）問題在現代控制理論中占有非常重要的位置。由于線性二次型（LQ）性能指標易于分析、處理和計算，而且通過線性二次型最優設計方法得到的控制系統具有較好的魯棒性與動態特性等優點，線性二次型在控制界得到普遍重視。運用LQR對倒立擺進行最優控制系統,并從實時控制效果出發, 1 倒立擺系統分析 　　深圳固高公司研制開發的一級直線倒立擺GIP-100-L ,它是一個單輸入多輸出的四階控制系統,結構組成如圖1所示。 [align=center] 圖1 　倒立擺系統構成[/align] 　　1.1 倒立擺系統模型 　　對倒立擺系統進行受力分析[1]可以得到系統的狀態空間表達式為： 　　 　　1.2 倒立擺系統穩定性分析 　　對式（1）所描述的倒立擺系統進行階躍響應分析[2]。小車位移和擺桿角度階躍響應曲線如圖2和圖3所示。 [align=center] 圖2 小車位移階躍響應曲線 圖3 小車角度階躍響應曲線[/align] 　　小車位移和擺桿角度都是發散的，倒立擺系統不穩定。 　　1.3 倒立擺系統能控性分析 　　系統能控性是控制器設計的前提。由能控性矩陣M=[B AB …A[sup]n-1[/sup]B ]，在MATLAB中利用可控性矩陣的ctrb命令來計算，可以得出Rank（M）=4,可知系統可控。 2 LQR控制器設計 　　2.1 二次型最優控制原理 　　設給定線性定常系統的狀態方程為 　　 　　二次型性能指標函數[3]: 　　 　　其中:加權陣Q和R是用來平衡狀態向量和輸入向量的權重,Q是半正定陣,R陣是正定陣。 　　最優控制規律： 　　 　　 　　其中：K為最優反饋增益，P為黎卡提矩陣方程的解。 　　黎卡提矩陣方程： 　　 　　 　　則，最優反饋增益K為： 　　 　　2.2 LQR參數 　　由MATLAB語句K=lqr（A,B,Q,R）,取Q=diag（1000,0,70,0），求得K=[-31.623 ,-20.151,72.718,13.155]，即為LQR控制器控制器參數[5]。 3 系統仿真與實控 　　3.1系統仿真 　　在MATLAB/Simulink環境搭建如圖4所示仿真模型[4]。 [align=center] 圖4 仿真模型圖[/align] 　　運行結果如圖5所示： [align=center] 圖5 仿真結果圖[/align] 　　由圖5可以看出，系統能較好的跟蹤階躍信號，擺桿的超調量足夠小,穩態誤差、上升時間與調整時間也符合設計指標要求。這時如果再增大Q ,系統的響應還會有所改善,但是在保證Q足夠小并兼顧其它響應指標時,系統響應已經能夠滿足要求了。 　　3.2 系統實控 　　利用固高倒立擺系統MATLAB實時控制平臺，建立系統時控模型如圖6所示： [align=center] 圖6 時控模型圖[/align] 　　利用LQR設計的控制器對倒立擺進行實時控制,可以使倒立擺達到穩定,起擺時小車位置和擺桿角度響應曲線如圖7、圖8所示。 [align=center] 圖7 起擺過程小車位移實控曲線 圖8 起擺過程擺桿角度實控曲線[/align] 　　在倒立擺系統穩定的情況下,對系統施加干擾 , 小車位置和擺桿角度響應曲線如圖9、圖10所示。 [align=center] 圖9 小車位移受擾動實控曲線 圖10 擺桿角度受擾動實控曲線[/align] 　　小車能迅速調整,使整個系統在很短的時間內恢復平衡。 4 結束語 　　運用LQR實現了一級倒立擺的控制，仿真和實控證明設計控制器的有效性，系統具有良好的穩定性和魯棒性。 參考文獻： 　　[1]固高科技有限公司.固高倒立擺與自動控制原理實驗指導書[M].深圳:固高科技有限公司,2005年9月。 　　[2]鄒伯敏.自動控制理論[M].北京:機械工業出版社，2003年。 　　[3]劉豹.現代控制理論[M].北京:機械工業出版社，2007年。 　　[4]吳曉燕,張雙選.MATLAB在自動控制中的應用[M] .西安：西安電子科技大學出版社,2006年。[5]王士瑩,張峰,陳志勇,趙協廣.直線一級倒立擺的LQR控制器設計[J].信息技術.2006年, 35（6）:98～99。 　　[6]王仲民,孫建軍,岳宏.基于LQR的倒立擺最優控制系統研究[J].工業儀表與自動化裝置.2005年,3（6）:28～32。