摘　要：在使用FFT進行頻譜分析的時候，自身的一些缺點難以克服。由于諧振器件有著一些優良的特性，本文嘗試用諧振原理進行單頻點檢測及頻譜分析，推導出諧振子的設計和仿真公式，并用實驗進行了驗證，初步論證了其可行性。 關鍵詞：諧振；頻譜分析；設計；仿真；FFT Testof a Single Frequency Pointand SpectrumAnalysis Using Resonance Principle 　　SHIXianfeng，GEMeiqing，ZHANG Xuezhi 　　（Schoolof Electronic Information Engineering，Xi′an Institute of Technology，Xi′an，710032，China） 　　Abstract：There are some inherent disadvantages when analyzing spectrum by FFT．For the prefect characteristics of resonantcomponents，the design and simulation formulas are deduced in the paper based on resonantprinciple to analyze spectrum or detect asingle frequency．The result ofexperiments indicates its feasibility． 對信號進行頻譜分析時，快速傅里葉變換（FFT）是最為常用的方法。但FFT存在一些難以克服的問題，限制了他的應用。在進行FFT的實際運算時，只能對時域信號進行有限長度的截取，這將引起“泄露”現象［1］，FFT還存在著頻域分辨率和時間分辨率的矛盾，方差性能也較差［2］。 　　諧振器件的重復性、分辨率和穩定性非常優良，因此利用諧振原理并用數字方式進行單頻點檢測及頻譜分析，就可以不受敏感元件材料的限制，設計出性能優異的單頻點檢測及頻譜分析系統。 1　基本原理 諧振原理可以由諧振子的振動特性來說明。諧振子在工作的過程中，可以等效為一個單自由度的系統，如圖1所示，其動力學方程為： 其中：m為振動系統的等效質量（kg）； c為振動系統的等效阻尼系數（Ns/m）； k為振動系統的等效剛度（N/m）； 阻尼比系數或阻尼率。當ξ<<1時系統處于弱阻尼狀態，系統響應為： 瞬態響應是一個阻尼振蕩，振幅和初相位取決于初始條件，振幅按衰減；穩態響應是一個簡諧振動，其頻率等于F的頻率。F0/k是系統在靜負荷F0作用下產生的變形，稱為“靜變位”，而系統外力作用下產生的等幅振蕩實質上是一種“動態變位”。H（ω）＝B/（F0/k）稱為動力放大因子。 當λ≪1時，H（ω）說明當激勵頻率遠遠小于系統固有頻率時，系統振幅也近似等于靜變位。當λ>> 1，H（ω）→0，這是因為F頻率非常高，系統由于慣性而來不及隨之振動。當λ1時，B急劇增大，發生共振。 [B]2　系統的設計和實現[B] 系統設計的關鍵在于： 　　（1）如何根據要求計算諧振子的參數m，c和k。　　 　　（2）設計好諧振子參數后，如何實現其關于具體輸入信號的響應。 2．1　諧振子設計公式的推導 若給定諧振子的諧振頻率ωr和諧振時系統的幅度放大倍數Hm，需要得到其等效質量m、等效阻尼系數c和等效剛度k。工程上將諧振子的幅度增益達到最大時的工作 狀態定義為諧振狀態，諧振頻率可以描述為： 為了方便計算和理解，可以令k＝1（N/m），這時系統的“靜變位”等于外力的幅值F0，Hm即為系統諧振時諧振子對于作用外力F（t）的振幅放大倍數。解此方程組即可以得到式（6）： 在式（6）中，c還可以表示為： 2．2　系統的實現 系統實現的方法主要有： 　　（1）歐拉法及其改進。 　　（2）線性加速度法。 　　（3）紐馬克－β法。 　　（4）威爾遜－θ法［3］。 根據后面的實驗，威爾遜－θ法效果最好，所以具體討論威爾遜－θ法。 威爾遜－θ法實際上是線性加速度法的一種變形，他是假設從t時刻到t＋θΔt時刻加速度是線性變化的，由此可以得到以下方程組： 用不同的解法進行求解，可以得到不同的公式，這里選用比較流行的一組公式： 為了降低計算量，還可以將此公式進一步簡化為： 其中，a1～4，b1～4和c1～4都是與k，m，c，Δt，θ相關的常數，由于他們和k，m，c，Δt，θ的關系過于復雜，這里不再給出。 3　仿真和實驗 為了驗證設計公式的正確性，用VC＋＋和Matlab 6混合編程方式編寫了一個諧振子仿真程序，該程序由3部分組成： 　　（1）仿真主界面。 　　（2）輸入信號設置界面。 　　（3）系統參數設計計算界面。 他的主要功能也相應地分為3個部分： （1）諧振子的運動仿真（可以選擇使用不同的仿真算法，包括前面提到的4種算法）。 （2）設定輸入信號F（t）的各個頻率分量及其大小（輸入信號由1～7個任意頻率的正弦信號組成）。 （3）諧振子參數的計算。 使用此程序可以進行單個頻率點檢測的實驗，其主界面如圖2所示。 首先使用式（6）設計了一個諧振頻率為100 Hz，Hm83為10的諧振子，其參數為：m＝2．52 kg，c＝0．000 158 Ns/m，k＝1 N/m。其幅頻和相頻響應曲線如圖3所示。 實驗先驗證各個仿真算法的穩定性。對于威爾遜-θ法，取θ＝1．40，輸入信號頻率為100 Hz，當采樣頻率改變時的實驗結果如表1所示。 從實驗結果可以看出，只要采樣頻率是輸入信號頻率的3倍以上，威爾遜－θ法都是穩定的。其他幾個方法也做了同樣的實驗，結果都不是很穩定。當采樣頻率是輸入信號頻率的50倍以上時，Hm的仿真效果十分接近設計值，這也驗證了設計公式的正確性。所以，以下的實驗都采用威爾遜－θ法。 取θ＝1．40，采樣頻率為2 000 Hz，則輸入信號頻率改變時的實驗結果如表2所示。 從實驗結果可以看出，當輸入信號在諧振頻率附近改變的時候，諧振的現象很明顯。 取輸入信號頻率為100 Hz，采樣頻率為2 000 Hz，當θ改變時，威爾遜－θ法的實驗結果如表3所示。從這個實驗可以看出，當θ＜1．37時，雖然Hm的仿真值更接近設計值，但是系統有點不太穩定。當θ＞1．42以上時，Hm的仿真值與設計值偏差變大，所以合理的θ值應選取在1．37與1．40之間。 如果將實際信號直接作用于該仿真系統，選取合適的諧振子參數，即可以實現單頻點檢測。若要進行頻譜分析，只需根據頻率分辨率的要求在不同的頻率點設計出多個諧振子，將輸入信號并行作用于各個諧振子即可，各個諧振子的工作情況與上述單個諧振子的工作情況相同。 4　結語 由以上的實驗和分析可以看出，使用諧振原理進行單頻點檢測及頻譜分析是可行的，本文推導的諧振子參數設計公式也是正確的。在仿真方法中，威爾遜－θ法是一個十分出色的算法，只要θ＞1．37、采樣頻率是輸入信號頻率的3倍以上即可確保仿真是穩定的。 由于這種方法不存在對輸入信號的截取，所以在進行頻譜分析時不必擔心FFT方法中出現的泄露現象，只要選取合適的諧振子參數和采樣頻率，通過諧振子的振幅就可以很好地反映出輸入信號在該頻點附近的頻譜分量。只是用此方法進行頻譜分析時，計算量有點大。如果輸入信號長度為N，諧振子個數為M，并使用簡化后的迭代公式，需要12×M×N次浮點乘法運算，但是考慮到低頻率的諧振子可以采用更低的采樣率，所以可以適當地降低運算量。 參考文獻 ［1］樊尚春，周浩敏．信號與測試技術［M］．北京：北京航空航天大學出版社，2002． ［2］胡廣書．數字信號處理理論、算法與實現［M］．北京：清華大學出版社，1997． ［3］尚濤，石端偉，安寧．工程計算可視化與Matlab實現［M］．武漢：武漢大學出版社，2002． ［4］洪水棕，方之楚，單雪雄．現代測試技術［M］．上海：上海交通大學出版社，2002． ［5］范云霄，劉樺．測試技術與信號處理［M］．北京：中國計量出版社，2002． ［6］Sophocles Orfanidis J．Introduction to signal processing ［M］．Prentice - Hall ,1998. 出處：現代電子技術